正の整数 $n$ に対して、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ が5の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ が5の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n=1$ のとき：

$7^{1+1} + 2^{1-1} = 7^2 + 2^0 = 49 + 1 = 50$

50は5の倍数なので、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$7^{k+1} + 2^{k-1}$ が5の倍数であると仮定する。

すなわち、$7^{k+1} + 2^{k-1} = 5m$ （$m$は整数）と表せる。

(3) $n=k+1$ のとき：

$7^{(k+1)+1} + 2^{(k+1)-1} = 7^{k+2} + 2^k$ が5の倍数であることを示す。

$7^{k+2} + 2^k = 7 \cdot 7^{k+1} + 2 \cdot 2^{k-1}$

$= 7 \cdot 7^{k+1} + 2 \cdot 2^{k-1} = 7 (5m - 2^{k-1}) + 2 \cdot 2^{k-1}$

$= 35m - 7 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 2^{k-1} = 35m - 5 \cdot 2^{k-1} = 5(7m - 2^{k-1})$

$7m - 2^{k-1}$ は整数なので、$5(7m - 2^{k-1})$ は5の倍数である。

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ は5の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての正の整数 $n$ に対して、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ は5の倍数である。