二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

この式から、頂点の座標が $(2, -3)$ であることがわかります。また、この二次関数は下に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標である $x = 2$ は定義域に含まれています。

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 2)^2 - 3 = -3$

これが最小値の候補です。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

定義域の端点での $y$ の値と頂点の $y$ の値を比較して、最大値と最小値を決定します。

$y$ の値は $1, -2, -3$ です。

最大値は $1$ であり、最小値は $-3$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$1$ ($x = 0$ のとき)

最小値：$-3$ ($x = 2$ のとき)