赤玉3個と白玉2個が入っている袋から、2個の玉を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数を$X$とする。$X$の確率分布と、$P(X \geq 1)$を求める。

1. 問題の内容

赤玉3個と白玉2個が入っている袋から、2個の玉を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数を$X$とする。$X$の確率分布と、$P(X \geq 1)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$が取りうる値を考える。2個取り出すので、赤玉の個数は0個、1個、2個のいずれかである。つまり、$X = 0, 1, 2$。

次に、それぞれの確率を求める。

全事象は5個から2個を取り出す組み合わせなので、${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

- $X = 0$のとき（赤玉が0個）：白玉2個を取り出すので、${}_2C_2 = 1$通り。

よって、$P(X=0) = \frac{1}{10}$

- $X = 1$のとき（赤玉が1個）：赤玉1個、白玉1個を取り出すので、${}_3C_1 \times {}_2C_1 = 3 \times 2 = 6$通り。

よって、$P(X=1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- $X = 2$のとき（赤玉が2個）：赤玉2個を取り出すので、${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

よって、$P(X=2) = \frac{3}{10}$

したがって、$X$の確率分布は以下の通り。

$P(X=0) = \frac{1}{10}$

$P(X=1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{10}$

次に、$P(X \geq 1)$を求める。

$P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$

あるいは、$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

Xの確率分布:

$P(X=0) = \frac{1}{10}$

$P(X=1) = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{10}$

$P(X \geq 1) = \frac{9}{10}$