確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。 (1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。 (2) $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。 (3) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。

(1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

(2) $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。

(3) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E(X)$ は、各変数の値とその確率の積の合計で計算されます。

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

ここで、$x_i$ は確率変数の値、$p_i$ はそれぞれの確率です。

$E(X) = 1 \cdot \frac{4}{16} + 2 \cdot \frac{4}{16} + 3 \cdot \frac{6}{16} + 4 \cdot \frac{2}{16}$

$E(X) = \frac{4}{16} + \frac{8}{16} + \frac{18}{16} + \frac{8}{16} = \frac{38}{16} = \frac{19}{8}$

(2) 分散 $V(X)$ は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で計算されます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{16} + 2^2 \cdot \frac{4}{16} + 3^2 \cdot \frac{6}{16} + 4^2 \cdot \frac{2}{16}$

$E(X^2) = \frac{4}{16} + \frac{16}{16} + \frac{54}{16} + \frac{32}{16} = \frac{106}{16} = \frac{53}{8}$

次に、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ を計算します。

$V(X) = \frac{53}{8} - (\frac{19}{8})^2 = \frac{53}{8} - \frac{361}{64} = \frac{424}{64} - \frac{361}{64} = \frac{63}{64}$

(3) 標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根です。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $E(X) = \frac{19}{8}$

(2) $V(X) = \frac{63}{64}$

(3) $\sigma(X) = \frac{3\sqrt{7}}{8}$