確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。 (1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求める。 (2) $X$ の分散 $V(X)$ を求める。 (3) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。

(1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

(2) $X$ の分散 $V(X)$ を求める。

(3) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E(X)$ は、各 $X$ の値にその確率を掛けて合計することで求められます。

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

(2) 分散 $V(X)$ は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で求められます。ここで、$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$ です。

(3) 標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散 $V(X)$ の平方根で求められます。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

それでは、具体的に計算してみましょう。

(1) 期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{12} + 2 \cdot \frac{5}{12} + 3 \cdot \frac{4}{12} + 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{10}{12} + \frac{12}{12} + \frac{4}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$

(2) 分散 $V(X)$ を求める。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{12} + 2^2 \cdot \frac{5}{12} + 3^2 \cdot \frac{4}{12} + 4^2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{20}{12} + \frac{36}{12} + \frac{16}{12} = \frac{74}{12} = \frac{37}{6}$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{37}{6} - (\frac{7}{3})^2 = \frac{37}{6} - \frac{49}{9} = \frac{111}{18} - \frac{98}{18} = \frac{13}{18}$

(3) 標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{13}{18}} = \sqrt{\frac{26}{36}} = \frac{\sqrt{26}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 期待値 $E(X) = \frac{7}{3}$

(2) 分散 $V(X) = \frac{13}{18}$

(3) 標準偏差 $\sigma(X) = \frac{\sqrt{26}}{6}$