1個のサイコロを投げて、出た目の数だけ1000円もらえるゲームがある。参加費として500円を払うとき、利益 $1000X - 500$ (円)の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。ここで、$X$はサイコロの出目の数(1から6の整数)を表します。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げて、出た目の数だけ1000円もらえるゲームがある。参加費として500円を払うとき、利益 $1000X - 500$ (円)の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。ここで、$X$はサイコロの出目の数(1から6の整数)を表します。

2. 解き方の手順

(1) サイコロの出目の期待値を求める。

サイコロの出目は1から6まで均等な確率で出現するので、確率変数を$X$とすると、その期待値$E[X]$は、

$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

(2) 利益の期待値を求める。

利益は$1000X - 500$で表されるので、利益の期待値$E[1000X - 500]$は、期待値の線形性から、

$E[1000X - 500] = 1000E[X] - 500 = 1000 \times 3.5 - 500 = 3500 - 500 = 3000$

(3) サイコロの出目の分散を求める。

サイコロの出目の分散$V[X]$は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

ここで、$E[X^2] = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

よって、

$V[X] = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

(4) 利益の分散を求める。

利益の分散$V[1000X - 500]$は、分散の性質から、

$V[1000X - 500] = 1000^2V[X] = 1000^2 \times \frac{35}{12} = 1000000 \times \frac{35}{12} = \frac{35000000}{12} = \frac{8750000}{3}$

(5) 利益の標準偏差を求める。

利益の標準偏差$\sigma[1000X - 500]$は、分散の平方根なので、

$\sigma[1000X - 500] = \sqrt{V[1000X - 500]} = \sqrt{\frac{8750000}{3}} = \sqrt{\frac{26250000}{9}} = \frac{5000\sqrt{10.5}}{3} = \frac{5000\sqrt{42}}{6} = \frac{2500\sqrt{42}}{3} \approx 2500 \times 2.049 /3 \approx 2904.74$

3. 最終的な答え

期待値: 3000円

分散: $\frac{8750000}{3}$

標準偏差: $\frac{2500\sqrt{42}}{3}$ 円(約2904.74円)