与えられた10個の2次不等式を解き、それぞれの $x$ の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた10個の2次不等式を解き、それぞれの $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 7x + 12 < 0$

因数分解すると $(x - 3)(x - 4) < 0$。よって、$3 < x < 4$。

(2) $x^2 + 3x - 4 \ge 0$

因数分解すると $(x + 4)(x - 1) \ge 0$。よって、$x \le -4$ または $x \ge 1$。

(3) $x^2 + 2x - 1 \le 0$

解の公式を用いると、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$。

よって、$-1 - \sqrt{2} \le x \le -1 + \sqrt{2}$。

(4) $-2x^2 + 6x - 1 \le 0$

$2x^2 - 6x + 1 \ge 0$。

解の公式を用いると、$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$。

よって、$x \le \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ または $x \ge \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$。

(5) $x^2 + 6x + 9 > 0$

$(x + 3)^2 > 0$。よって、$x \ne -3$。

(6) $x^2 - 8x + 16 \ge 0$

$(x - 4)^2 \ge 0$。よって、すべての実数 $x$。

(7) $4x^2 - 4x + 1 < 0$

$(2x - 1)^2 < 0$。これを満たす実数 $x$ は存在しない。よって、解なし。

(8) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 \le 0$

$(x - \sqrt{3})^2 \le 0$。よって、$x = \sqrt{3}$。

(9) $2x^2 - 4x + 3 \ge 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$。よって、すべての実数 $x$。

(10) $x^2 - 4x + 5 < 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$。よって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $3 < x < 4$

(2) $x \le -4$ または $x \ge 1$

(3) $-1 - \sqrt{2} \le x \le -1 + \sqrt{2}$

(4) $x \le \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ または $x \ge \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

(5) $x \ne -3$

(6) すべての実数 $x$

(7) 解なし

(8) $x = \sqrt{3}$

(9) すべての実数 $x$

(10) 解なし