$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を使って展開します。

二項定理より、

$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \left(\frac{x}{2}\right)^{10-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k$

展開式の一般項は、

${}_{10}C_k \left(\frac{x}{2}\right)^{10-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} x^{10-k} (-1)^k x^{-k} = {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} (-1)^k x^{10-2k}$

$x^2$ の項を求めるので、$10 - 2k = 2$ となる $k$ を探します。

$10 - 2k = 2$ を解くと、$2k = 8$ より $k = 4$ となります。

したがって、$x^2$ の項は、

${}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4} (-1)^4 x^{10-2(4)} = {}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^6 x^2$

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

$\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$

よって、$x^2$ の項の係数は、

$210 \times \frac{1}{64} = \frac{210}{64} = \frac{105}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{105}{32}$