袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉7個が入っている。この袋から4個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉7個が入っている。この袋から4個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である確率は、1から「白玉が1つも含まれない確率」を引くことで求められる。

まず、袋の中にある玉の総数は、2個(赤玉) + 3個(白玉) + 7個(青玉) = 12個である。

12個から4個を取り出す組み合わせの総数は、

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

次に、白玉が1つも含まれない場合を考える。

これは、赤玉2個と青玉7個の中から4個を取り出す組み合わせの数である。

赤玉2個と青玉7個の合計は9個なので、この中から4個を取り出す組み合わせは、

$_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

したがって、白玉が1つも含まれない確率は、$\frac{126}{495} = \frac{14}{55}$

よって、少なくとも1個が白玉である確率は、

$1 - \frac{14}{55} = \frac{55-14}{55} = \frac{41}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$