$a = \log_3 4$, $b = \log_3 5$ であるとき、$\log_{60} 40$ を $a$ と $b$ の式で表す。

1. 問題の内容

$a = \log_3 4$, $b = \log_3 5$ であるとき、$\log_{60} 40$ を $a$ と $b$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、$\log_{60} 40$ を底が 3 の対数で表します。

$\log_{60} 40 = \frac{\log_3 40}{\log_3 60}$

次に、40 と 60 を素因数分解します。

$40 = 2^3 \cdot 5$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

これらを対数の式に代入します。

$\log_{60} 40 = \frac{\log_3 (2^3 \cdot 5)}{\log_3 (2^2 \cdot 3 \cdot 5)}$

対数の性質を用いて、式を展開します。

$\log_3 (xy) = \log_3 x + \log_3 y$

$\log_3 x^n = n \log_3 x$

$\log_{60} 40 = \frac{\log_3 2^3 + \log_3 5}{\log_3 2^2 + \log_3 3 + \log_3 5}$

$\log_{60} 40 = \frac{3 \log_3 2 + \log_3 5}{2 \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5}$

問題文より、$a = \log_3 4 = \log_3 2^2 = 2 \log_3 2$ なので、$\log_3 2 = \frac{a}{2}$ です。また、$b = \log_3 5$ であり、$\log_3 3 = 1$ です。

$\log_{60} 40 = \frac{3 (\frac{a}{2}) + b}{2 (\frac{a}{2}) + 1 + b}$

$\log_{60} 40 = \frac{\frac{3a}{2} + b}{a + 1 + b}$

分子と分母に 2 をかけます。

$\log_{60} 40 = \frac{3a + 2b}{2a + 2 + 2b}$

3. 最終的な答え

$\log_{60} 40 = \frac{3a + 2b}{2a + 2b + 2}$