二次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=3$ を与えられた二次方程式に代入し、$a$ に関する方程式を得る。

$a$ に関する方程式を解き、$a$ の値を求める。

次に、$a$ の値それぞれについて、元の二次方程式を解き、他の解を求める。

ステップ1: $x=3$ を代入

$x=3$ を $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ に代入すると、

$3^2 - a(3) + 2a^2 - 8 = 0$

$9 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

ステップ2: $a$ に関する方程式を解く

$2a^2 - 3a + 1 = 0$ を因数分解する。

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ または $a = 1$

ステップ3: $a = \frac{1}{2}$ の場合

$a = \frac{1}{2}$ のとき、元の二次方程式は

$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{2})^2 - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{4}) - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 - x - 15 = 0$

$(2x + 5)(x - 3) = 0$

$x = 3$ または $x = -\frac{5}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ のとき、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

ステップ4: $a = 1$ の場合

$a = 1$ のとき、元の二次方程式は

$x^2 - x + 2(1)^2 - 8 = 0$

$x^2 - x + 2 - 8 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3$ または $x = -2$

したがって、$a = 1$ のとき、他の解は $x = -2$

まとめると、$a = \frac{1}{2}$ のとき他の解は $x = -\frac{5}{2}$ であり、$a = 1$ のとき他の解は $x = -2$ である。また、$\frac{1}{2} < 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}, 1$

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

$a = 1$ のとき、他の解は $x = -2$