$3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x-1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x-1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式 $3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x-1$ で割り切れるということは、$3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x-1$ を因数に持つということです。言い換えると、$3x-1 = 0$ となる $x = \frac{1}{3}$ を $3x^3 - x^2 + ax + 4$ に代入すると、0になるということです。

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$3(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + a(\frac{1}{3}) + 4 = 0$

$\frac{3}{27} - \frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{a}{3} = -4$

$a = -12$

3. 最終的な答え

$a = -12$