数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が、$a_1 = b_1 = 1$ および漸化式 $$ \begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2b_n \\ b_{n+1} = a_n + 3b_n \end{cases} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) $$ で定められている。以下の問いに答えよ。 (1) $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ であることを示せ。 (2) $a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1}$ を $a_n$, $b_n$ で表せ。また、$a_{n-1}$, $b_{n-1}$ で表せ ($n \ge 2$)。 (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が、$a_1 = b_1 = 1$ および漸化式

$$$$

\begin{cases}

a_{n+1} = a_n + 2b_n \\

b_{n+1} = a_n + 3b_n

\end{cases} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)

$$$$

で定められている。以下の問いに答えよ。

(1) $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ であることを示せ。

(2) $a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1}$ を $a_n$, $b_n$ で表せ。また、$a_{n-1}$, $b_{n-1}$ で表せ ($n \ge 2$)。

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1} = a_n + 3b_n$ より、$a_n = b_{n+1} - 3b_n$。

$a_{n+1} = a_n + 2b_n$ に代入すると、$b_{n+2} - 3b_{n+1} = b_{n+1} - 3b_n + 2b_n$。

よって、$b_{n+2} = 4b_{n+1} - b_n$。

$b_1 = 1, b_2 = a_1 + 3b_1 = 1 + 3 = 4$。

$b_n$ は整数であり、$b_n > 0$ であることは明らかである。

$b_{n+2} = 4b_{n+1} - b_n$ より、$b_{n+2} > b_{n+1}$ が成り立つので、$b_n$ は単調増加である。

したがって、$\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$。

(2) $a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1} = (a_n + 2b_n) b_n - a_n (a_n + 3b_n) = a_n b_n + 2b_n^2 - a_n^2 - 3a_n b_n = 2b_n^2 - 2a_n b_n - a_n^2 = -a_n^2 - 2a_n b_n + 2b_n^2$。

また、$a_n = a_{n-1} + 2b_{n-1}$, $b_n = a_{n-1} + 3b_{n-1}$ であるから、$a_{n-1} = 3b_{n-1} - b_n$、$2b_{n-1} = a_n - a_{n-1}$ となり、$b_{n-1} = \frac{1}{2}(a_n - a_{n-1})$。

これを、$a_{n-1} = 3b_{n-1} - b_n$ に代入して、$a_{n-1} = \frac{3}{2}(a_n - a_{n-1}) - b_n$。

整理すると、$\frac{5}{2} a_{n-1} = \frac{3}{2} a_n - b_n$。

よって、$b_n = \frac{3}{2} a_n - \frac{5}{2} a_{n-1}$。

同様に、$a_n = b_{n+1} - 3b_n$, $b_n = b_{n+1} - a_n$ であるから、$b_{n+1} - 3b_n - a_n = 0$、$a_n = b_{n+1} - b_n$ である。

$a_n = a_{n-1} + 2b_{n-1}$、$b_n = a_{n-1} + 3b_{n-1}$ より、$a_n b_{n-1} - a_{n-1} b_n = (a_{n-1} + 2b_{n-1})b_{n-1} - a_{n-1}(a_{n-1} + 3b_{n-1}) = a_{n-1} b_{n-1} + 2b_{n-1}^2 - a_{n-1}^2 - 3a_{n-1} b_{n-1} = -a_{n-1}^2 - 2a_{n-1} b_{n-1} + 2b_{n-1}^2$。

$a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1} = - (a_n b_{n-1} - a_{n-1} b_n) = -(a_{n-1} + 2b_{n-1})(a_{n-1} + 3b_{n-1}) - (a_{n-1} + 3b_{n-1})(a_{n-1} + 2b_{n-1}) = -((a_{n-1} + 2b_{n-1})(a_{n-1} + 3b_{n-1}) - (a_{n-1} + 3b_{n-1})(a_{n-1} + 2b_{n-1}))=a_1 b_1 - a_0 b_1= - a_{n-1}^2 - 2a_{n-1}b_{n-1} + 2b_{n-1}^2$

$a_2 = 3$

$b_2 = 4$

$a_3 = a_2+2b_2=3+8=11$

$b_3 = a_2+3b_2=3+12=15$

$a_2b_1-a_1b_2 = 3*1-1*4=-1$

$a_3b_2-a_2b_3 = 11*4-3*15=44-45=-1$

帰納的に，$a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1} = -1$。

(3) $a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1} = -1$ より、$a_{n+1} b_n = a_n b_{n+1} - 1$。

$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} = \frac{a_n}{b_n} - \frac{1}{b_n b_{n+1}}$。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \alpha$ とすると、$\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n b_{n+1}} = 0$。

$a_{n+1} = a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = a_n + 3b_n$ より、$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} = \frac{a_n + 2b_n}{a_n + 3b_n} = \frac{\frac{a_n}{b_n} + 2}{\frac{a_n}{b_n} + 3}$。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} = \frac{\alpha + 2}{\alpha + 3}$。

よって、$\alpha = \frac{\alpha + 2}{\alpha + 3}$。$\alpha^2 + 3\alpha = \alpha + 2$。$\alpha^2 + 2\alpha - 2 = 0$。

$\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$。

$\frac{a_1}{b_1} = 1$ であり、すべての $n$ で $\frac{a_n}{b_n} > 0$ であるので、$\alpha = -1 + \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ (証明は上記参照)

(2) $a_{n+1} b_n - a_n b_{n+1} = -1$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{3} - 1$