(3) $4^a = 9^b = 6$のとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$の値を求めよ。 (4) $x = \log_2 3$のとき、$4^x + 4^{-x}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(3) $4^a = 9^b = 6$のとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$の値を求めよ。

(4) $x = \log_2 3$のとき、$4^x + 4^{-x}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) $4^a = 6$ より、$4 = 6^{\frac{1}{a}}$

$9^b = 6$ より、$9 = 6^{\frac{1}{b}}$

したがって、$4 \times 9 = 6^{\frac{1}{a}} \times 6^{\frac{1}{b}}$

$36 = 6^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

$6^2 = 6^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

よって、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$

(4) $x = \log_2 3$ より、$4^x = 4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9} = 9$

$4^{-x} = \frac{1}{4^x} = \frac{1}{9}$

よって、$4^x + 4^{-x} = 9 + \frac{1}{9} = \frac{81}{9} + \frac{1}{9} = \frac{82}{9}$

3. 最終的な答え

(3) 2

(4) $\frac{82}{9}$