与えられた複数の数の大小を比較する問題です。対数、分数、整数などが含まれています。具体的には以下の6つの問題があります。 (1) $\log_2{\frac{1}{2}}$, $\log_2{3}$, $1$ (2) $\log_{\frac{1}{2}}{3}$, $\log_{\frac{1}{2}}{2}$, $\log_{\frac{1}{2}}{4}$ (3) $\log_2{3}$, $\log_4{8}$ (4) $2\log_2{3}$, $3\log_4{3}$ (5) $1.5$, $\log_4{9}$, $\log_9{25}$ (6) $\log_4{24}$, $\log_2{5}$, $3$

1. 問題の内容

与えられた複数の数の大小を比較する問題です。対数、分数、整数などが含まれています。具体的には以下の6つの問題があります。

(1) $\log_2{\frac{1}{2}}$, $\log_2{3}$, $1$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}{3}$, $\log_{\frac{1}{2}}{2}$, $\log_{\frac{1}{2}}{4}$

(3) $\log_2{3}$, $\log_4{8}$

(4) $2\log_2{3}$, $3\log_4{3}$

(5) $1.5$, $\log_4{9}$, $\log_9{25}$

(6) $\log_4{24}$, $\log_2{5}$, $3$

2. 解き方の手順

各問題について、大小を比較するためにそれぞれの数を評価します。対数の性質を利用したり、底を揃えたりして比較しやすい形にします。

(1)

$\log_2{\frac{1}{2}} = \log_2{2^{-1}} = -1$

$\log_2{3}$ は、$\log_2{2} = 1$ より大きく、$\log_2{4} = 2$ より小さいので、$1 < \log_2{3} < 2$ です。

よって、$-1 < 1 < \log_2{3}$ です。

(2)

底が$\frac{1}{2}$なので、真数が大きいほど値は小さくなります。

$4 > 3 > 2$ なので、$\log_{\frac{1}{2}}{4} < \log_{\frac{1}{2}}{3} < \log_{\frac{1}{2}}{2}$ となります。

(3)

$\log_2{3}$ は、$1 < \log_2{3} < 2$ です。

$\log_4{8} = \log_{2^2}{2^3} = \frac{3}{2}\log_2{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$\log_2{3}$ と $\log_4{8} = 1.5$ の大小を比較します。

$\log_2{3}$ > $\log_2{2^{\frac{3}{2}}}$ = $\frac{3}{2} = 1.5$

よって、$\log_2{3} > \log_4{8}$ です。

(4)

$2\log_2{3} = \log_2{3^2} = \log_2{9}$

$3\log_4{3} = \log_4{3^3} = \log_4{27} = \log_{2^2}{27} = \frac{1}{2}\log_2{27} = \log_2{\sqrt{27}} = \log_2{3\sqrt{3}}$

$9 = \sqrt{81}$、$3\sqrt{3} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{27}$ なので、$\sqrt{81} > \sqrt{27}$ です。

よって、$\log_2{9} > \log_2{3\sqrt{3}}$ なので、$2\log_2{3} > 3\log_4{3}$ です。

(5)

$1.5 = \frac{3}{2}$

$\log_4{9} = \log_{2^2}{3^2} = \frac{2}{2}\log_2{3} = \log_2{3}$

$\log_9{25} = \log_{3^2}{5^2} = \frac{2}{2}\log_3{5} = \log_3{5}$

$1.5 = \log_4{4^{\frac{3}{2}}} = \log_4{(2^2)^{\frac{3}{2}}} = \log_4{2^3} = \log_4{8}$

$\log_4{9} > \log_4{8} = 1.5$

$\log_9{25} = \frac{\log 25}{\log 9} = \frac{\log 5^2}{\log 3^2} = \frac{2\log 5}{2\log 3} = \frac{\log 5}{\log 3}$

$\frac{\log 5}{\log 3}$ と $\frac{3}{2}$ を比較します。

$\log 5 \approx 0.699$, $\log 3 \approx 0.477$, $\frac{0.699}{0.477} \approx 1.465$

よって $\log_9{25} < 1.5$

$\log_9{25} < 1.5 < \log_4{9}$ です。

(6)

$\log_4{24} = \frac{\log_2{24}}{\log_2{4}} = \frac{\log_2{24}}{2} = \frac{1}{2}\log_2{24} = \log_2{\sqrt{24}}$

$\sqrt{24}$ は、$\sqrt{16} = 4$ より大きく、$\sqrt{25} = 5$ より小さいので、$4 < \sqrt{24} < 5$ です。

よって、$\log_2{4} < \log_2{\sqrt{24}} < \log_2{5}$ なので、$2 < \log_4{24} < \log_2{5}$ です。

$\log_2{5}$ と $3 = \log_2{8}$ を比較すると、$\log_2{5} < \log_2{8}$ なので、$\log_2{5} < 3$ です。

よって、$\log_4{24} < \log_2{5} < 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\log_2{\frac{1}{2}} < 1 < \log_2{3}$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}{4} < \log_{\frac{1}{2}}{3} < \log_{\frac{1}{2}}{2}$

(3) $\log_4{8} < \log_2{3}$

(4) $3\log_4{3} < 2\log_2{3}$

(5) $\log_9{25} < 1.5 < \log_4{9}$

(6) $\log_4{24} < \log_2{5} < 3$