次の2重積分を計算します。 $\iint_D (x+y)^2 dxdy$, ここで、$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2^2\}$ です。

1. 問題の内容

次の2重積分を計算します。

$\iint_D (x+y)^2 dxdy$, ここで、$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2^2\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、極座標に変換します。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$

$E = \{(r, \theta) | 0 \leq r \leq 2, -\pi \leq \theta \leq \pi\}$ とします。

このとき、

$\iint_D (x+y)^2 dxdy = \iint_E (r \cos \theta + r \sin \theta)^2 r dr d\theta$

$= \int_{0}^{2} \int_{-\pi}^{\pi} (r^2 \cos^2 \theta + 2 r^2 \cos \theta \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta) r dr d\theta$

$= \int_{0}^{2} \int_{-\pi}^{\pi} r^3 (\cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) dr d\theta$

$= \int_{0}^{2} \int_{-\pi}^{\pi} r^3 (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) dr d\theta$

$= \int_{0}^{2} r^3 dr \int_{-\pi}^{\pi} (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$

$\int_{0}^{2} r^3 dr = [\frac{r^4}{4}]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$\int_{-\pi}^{\pi} (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta = \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \sin 2\theta) d\theta$

$= [\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta]_{-\pi}^{\pi} = (\pi - \frac{1}{2} \cos 2\pi) - (-\pi - \frac{1}{2} \cos (-2\pi))$

$= (\pi - \frac{1}{2}) - (-\pi - \frac{1}{2}) = \pi - \frac{1}{2} + \pi + \frac{1}{2} = 2\pi$

したがって、

$\int_{0}^{2} r^3 dr \int_{-\pi}^{\pi} (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$

別の解き方：（解答に書いてあるとおり）

$\int_0^2 \int_{-\pi}^{\pi} r^3 (1+2\sin\theta\cos\theta) d\theta dr = \int_0^2 r^3dr \int_{-\pi}^{\pi} 1+2\sin\theta\cos\theta d\theta$

$=[\frac{r^4}{4}]_0^2 [\theta + \sin^2 \theta]_{-\pi}^{\pi} = [\frac{2^4-0}{4}] [(\pi+\sin^2\pi) - (-\pi + \sin^2(-\pi))]$

$= \frac{16}{4} [(\pi + 0) - (-\pi + 0)] = 4(\pi+\pi) = 8\pi$

3. 最終的な答え

$8\pi$