行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を計算し、演算が定義されない場合は「計算不可」と答える。 (1) $AB$ (2) $BA$ (3) $B^2$ (4) $CB$ (5) $A - BC$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を計算し、演算が定義されない場合は「計算不可」と答える。

(1) $AB$

(2) $BA$

(3) $B^2$

(4) $CB$

(5) $A - BC$

2. 解き方の手順

(1) $AB$ の計算:

行列 $A$ は $2 \times 2$ 行列、行列 $B$ は $2 \times 1$ 行列なので、$AB$ は $2 \times 1$ 行列になる。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 6 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix}$

(2) $BA$ の計算:

行列 $B$ は $2 \times 1$ 行列、行列 $A$ は $2 \times 2$ 行列なので、$BA$ の計算は定義されない（計算不可）。問題文に $B$ は $(3, -2)$ の転置行列と記載されていたため、$B$ は $1 \times 2$ 行列と解釈できる。この時、$B = (3, -2)$なので、$BA$は$(3, -2)\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = (3(1) + (-2)(2), 3(-3) + (-2)(1)) = (3-4, -9-2) = (-1, -11)$

ただし、画像内の解き方によると$B^T A$のような計算をしているので、

$BA = \begin{pmatrix} 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 + (-2) \cdot 2 & 3 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4 & -9-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -11 \end{pmatrix}$

(3) $B^2$ の計算:

行列 $B$ は $2 \times 1$ 行列なので、$B^2 = BB$ は計算できない（計算不可）。もし、$B$ が正方行列ならば計算できるが、問題文からは不明。

ただし、画像内の解き方によると$B^T B$のような計算をしているので、

$B^T B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 9 + 4 = 13$

(4) $CB$ の計算:

行列 $C$ は $1 \times 2$ 行列、行列 $B$ は $2 \times 1$ 行列なので、$CB$ は $1 \times 1$ 行列（スカラー）になる。

$CB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 6 - 2 = 4$

(5) $A - BC$ の計算:

まず、$BC$ を計算する。行列 $B$ は $2 \times 1$ 行列、行列 $C$ は $1 \times 2$ 行列なので、$BC$ は $2 \times 2$ 行列になる。

$BC = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 \\ -2 \cdot 2 & -2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$

次に、$A - BC$ を計算する。

$A - BC = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 6 & -3 - 3 \\ 2 - (-4) & 1 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -1 & -11 \end{pmatrix}$ (計算可能と解釈した場合)

(3) 13 (計算可能と解釈した場合)

(4) $4$

(5) $\begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$