次の数列の和を求めよ。 $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 7 + \dots + n(n+1)(2n+1)$

1. 問題の内容

次の数列の和を求めよ。

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 7 + \dots + n(n+1)(2n+1)$

2. 解き方の手順

数列の一般項を求める。

第$k$項は $k(k+1)(2k+1)$ と表せる。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1)$ となる。

この総和を計算する。

\begin{align*} \label{eq:1}\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1) &= \sum_{k=1}^{n} k(2k^2 + 3k + 1) \\ &= \sum_{k=1}^{n} (2k^3 + 3k^2 + k) \\ &= 2 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k\end{align*}

ここで、次の公式を用いる。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

したがって、

\begin{align*}2 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k &= 2 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \\ &= 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n(n+1)}{2} [n(n+1) + (2n+1) + 1] \\ &= \frac{n(n+1)}{2} [n^2 + n + 2n + 2] \\ &= \frac{n(n+1)}{2} [n^2 + 3n + 2] \\ &= \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{2} \\ &= \frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}$