$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k)$を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k)$を求めよ。

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k) = \sum_{k=1}^{n}2^{k} + \sum_{k=1}^{n}2k$

次に、それぞれの和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}2^{k}$は、初項2、公比2、項数nの等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n}2^{k} = \frac{2(2^{n}-1)}{2-1} = 2(2^{n}-1) = 2^{n+1}-2$

$\sum_{k=1}^{n}2k = 2\sum_{k=1}^{n}k$であり、$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$であるから、

$\sum_{k=1}^{n}2k = 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^{2}+n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k) = 2^{n+1}-2 + n^{2}+n$

3. 最終的な答え

$2^{n+1}+n^{2}+n-2$