数列 $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めます。

第 $n$ 項は、$2$ から $2n$ までの偶数の和なので、

$a_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

となります。

次に、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$