$\sum_{i=1}^n (\sum_{k=1}^i 3k^2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{i=1}^n (\sum_{k=1}^i 3k^2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず内側の$\sum_{k=1}^i 3k^2$を計算します。

$\sum_{k=1}^i 3k^2 = 3 \sum_{k=1}^i k^2$

$\sum_{k=1}^i k^2 = \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^i 3k^2 = 3 \cdot \frac{i(i+1)(2i+1)}{6} = \frac{i(i+1)(2i+1)}{2} = \frac{2i^3 + 3i^2 + i}{2}$

次に、外側の$\sum_{i=1}^n$を計算します。

$\sum_{i=1}^n \frac{2i^3 + 3i^2 + i}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (2i^3 + 3i^2 + i) = \sum_{i=1}^n i^3 + \frac{3}{2} \sum_{i=1}^n i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n i$

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

よって、

$\sum_{i=1}^n i^3 + \frac{3}{2} \sum_{i=1}^n i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n i = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} + \frac{n(n+1)}{4}$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + (2n+1) + 1] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 2n + 2]$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 3n + 2] = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{4} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{4}$