2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。 $y = f(x)$ のグラフをx軸方向に $a-2$, y軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。 ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。 (2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。また、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めよ。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。

$y = f(x)$ のグラフをx軸方向に $a-2$, y軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。

ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

(2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。また、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + 7$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

したがって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ である。

(2) $y = g(x)$ は $y = f(x)$ のグラフをx軸方向に $a-2$, y軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフなので、

$g(x) = f(x - (a-2)) - 5 = (x - (a-2))^2 - 4(x - (a-2)) + 7 - 5$

$g(x) = (x - a + 2)^2 - 4(x - a + 2) + 2$

$g(x) = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 8 + 2$

$g(x) = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 6$

$g(x) = x^2 - 2(a-2)x + (a-2)^2 - 4x + 4a - 6$

$g(x) = x^2 - 2ax + 4x + a^2 - 4a + 4 - 4x + 4a - 6$

$g(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2 = (x - a)^2 - a^2 + a^2 - 2 = (x - a)^2 - 2$

したがって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a, -2)$ である。

$a = 3$ のとき、$g(x) = (x - 3)^2 - 2$ である。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

頂点のx座標は3なので、$x = 3$ で最小値をとる。$g(3) = -2$ である。

$x = 0$ のとき、$g(0) = (0 - 3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$ である。

$x = 4$ のとき、$g(4) = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$ である。

したがって、最大値は $g(0) = 7$, 最小値は $g(3) = -2$ である。

(3) $g(x) = (x - a)^2 - 2$ であり、$0 \le x \le 4$ である。

$g(x)$ の軸は $x = a$ である。

$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

(i) $a < 2$ のとき、最小値は $x = a$ に最も近い $x = 0$ でとる。

$m = g(a) = -2$ である。最大値は $x = 4$ でとる。

$M = g(4) = (4 - a)^2 - 2$ である。

$M - 2m = (4 - a)^2 - 2 - 2(-2) = (4 - a)^2 + 2 = 9$

$(4 - a)^2 = 7$ より、$4 - a = \pm \sqrt{7}$

$a = 4 \pm \sqrt{7}$ となるが、$a < 2$ より、$a = 4 - \sqrt{7}$ である。

$a = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2.646 = 1.354$ なので、$a < 2$ を満たす。

(ii) $2 \le a \le 4$ のとき、最小値は $x = a$ でとる。

$m = -2$ である。

最大値は $x = 0$ または $x = 4$ でとる。

$g(0) = a^2 - 2$, $g(4) = (4 - a)^2 - 2$ である。

$g(0) - g(4) = a^2 - (4 - a)^2 = a^2 - (16 - 8a + a^2) = 8a - 16$

$g(0) > g(4)$ ならば $8a - 16 > 0$ より $a > 2$

$g(0) < g(4)$ ならば $8a - 16 < 0$ より $a < 2$

(a) $2 < a \le 4$ のとき、最大値は $M = g(0) = a^2 - 2$ である。

$M - 2m = a^2 - 2 - 2(-2) = a^2 + 2 = 9$

$a^2 = 7$ より、$a = \pm \sqrt{7}$

$2 < a \le 4$ より、$a = \sqrt{7} \approx 2.646$ である。

(b) $a = 2$ のとき、$g(0) = g(4) = (2 - 2)^2 - 2 = -2$. よって，$M = -2$ となり $M - 2m = -2 - 2(-2) = -2 + 4 = 2 \ne 9$

(iii) $a > 4$ のとき、最大値は $x = 0$ でとる。$M = g(0) = a^2 - 2$

最小値は $x = 4$ でとる。$m = g(4) = (4 - a)^2 - 2$

$M - 2m = a^2 - 2 - 2((4 - a)^2 - 2) = a^2 - 2 - 2(16 - 8a + a^2 - 2)$

$= a^2 - 2 - 32 + 16a - 2a^2 + 4 = -a^2 + 16a - 30 = 9$

$a^2 - 16a + 39 = 0$

$(a - 3)(a - 13) = 0$

$a = 3$ または $a = 13$

$a > 4$ より $a = 13$

したがって、求める $a$ の値は $4 - \sqrt{7}$, $\sqrt{7}$, $13$ である。

3. 最終的な答え

(1) (2, 3)

(2) (a, -2), 最大値 7, 最小値 -2

(3) $a = 4 - \sqrt{7}, \sqrt{7}, 13$