与えられた数式を簡略化します。数式は次のとおりです。 $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化します。数式は次のとおりです。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$

2. 解き方の手順

まず、中括弧の中を簡略化します。

$2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 = 2^1 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^{1+n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n + 2^{n-1} - 1$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2^n + 2^{n-1} - 1 \} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} ( 2^n + 2^{n-1} - 1 )$

$= \frac{1}{2} ( 2^{n-1} \cdot 2^n + 2^{n-1} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-1} )$

$= \frac{1}{2} ( 2^{2n-1} + 2^{2n-2} - 2^{n-1} )$

$= 2^{2n-2} + 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$2^{2n-2} + 2^{2n-3} - 2^{n-2}$