問題は、与えられた式 $S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ を簡略化し、$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ になることを示すことです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ を簡略化し、$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ になることを示すことです。

2. 解き方の手順

与えられた式 $S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ を簡略化していきます。

まず、中括弧の中を簡略化します。

$2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 = 2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

次に、全体を簡略化します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{-1} \cdot 2^{n-1} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

3. 最終的な答え

したがって、$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ となります。