与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は(1)と(3)を解きます。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 2n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n^2$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は(1)と(3)を解きます。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 2n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n^2$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} - a_n = 2n$ の場合

これは階差数列の問題です。$a_n$ の階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$ となります。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$a_n = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

(3) $a_{n+1} = a_n + n^2$ の場合

これも階差数列の問題です。$a_n$ の階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n = n^2$ となります。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 1 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 6}{6} = \frac{2 - 3 + 1 + 6}{6} = \frac{6}{6} = 1$ となり、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(3) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$