点 A(2, 3) を通り、直線 $3x - 4y - 1 = 0$ に平行な直線 $l$ と、垂直な直線 $m$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

点 A(2, 3) を通り、直線 $3x - 4y - 1 = 0$ に平行な直線 $l$ と、垂直な直線 $m$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線 $3x - 4y - 1 = 0$ の傾きを求める。

$4y = 3x - 1$ より、$y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$ であるから、与えられた直線の傾きは $\frac{3}{4}$ である。

直線 $l$ は与えられた直線に平行であるから、傾きも $\frac{3}{4}$ である。

点 A(2, 3) を通り傾き $\frac{3}{4}$ の直線 $l$ の方程式は、点傾き式より、

$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 2)$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 3$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}$

両辺に4をかけて

$4y = 3x + 6$

移項して、$3x - 4y + 6 = 0$。

直線 $m$ は与えられた直線に垂直であるから、傾きは $-\frac{4}{3}$ である。

点 A(2, 3) を通り傾き $-\frac{4}{3}$ の直線 $m$ の方程式は、点傾き式より、

$y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 2)$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} + 3$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{17}{3}$

両辺に3をかけて

$3y = -4x + 17$

移項して、$4x + 3y - 17 = 0$。

3. 最終的な答え

直線 $l$: $3x - 4y + 6 = 0$

直線 $m$: $4x + 3y - 17 = 0$