点A(2, 1)を通り、直線 $2x - 3y + 1 = 0$ に平行な直線 $l$ と垂直な直線 $m$ の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点A(2, 1)を通り、直線 $2x - 3y + 1 = 0$ に平行な直線 $l$ と垂直な直線 $m$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線 $2x - 3y + 1 = 0$ の傾きを求めます。この式を $y$ について解くと、

$3y = 2x + 1$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

となるので、与えられた直線の傾きは $\frac{2}{3}$ です。

直線 $l$ は与えられた直線に平行なので、傾きも $\frac{2}{3}$ です。点A(2, 1)を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は、点傾き式を用いて、

$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 2)$

$y - 1 = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} + 1$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

両辺に3を掛けて、

$3y = 2x - 1$

$2x - 3y - 1 = 0$

次に、直線 $m$ は与えられた直線に垂直なので、傾きは $-\frac{3}{2}$ です。点A(2, 1)を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、点傾き式を用いて、

$y - 1 = -\frac{3}{2}(x - 2)$

$y - 1 = -\frac{3}{2}x + 3$

$y = -\frac{3}{2}x + 4$

両辺に2を掛けて、

$2y = -3x + 8$

$3x + 2y - 8 = 0$

3. 最終的な答え

直線 $l$ の方程式は、$2x - 3y - 1 = 0$ です。

直線 $m$ の方程式は、$3x + 2y - 8 = 0$ です。