与えられた連立方程式 $\begin{cases} 4x + 2y - 3 = 0 \\ ax - 3y + c = 0 \end{cases}$ が解を持たないための必要十分条件と、ただ1組の解を持つための必要十分条件を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$\begin{cases}

4x + 2y - 3 = 0 \\

ax - 3y + c = 0

\end{cases}$

が解を持たないための必要十分条件と、ただ1組の解を持つための必要十分条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式が解を持たない条件を考えます。連立方程式が解を持たないのは、2つの直線が平行で、かつ一致しない場合です。2つの直線が平行である条件は、$x$と$y$の係数の比が等しいことです。

すなわち、

$\frac{4}{a} = \frac{2}{-3}$

となる必要があります。これを解くと、

$a = -6$

となります。

次に、2つの直線が一致しない条件を考えます。2つの直線が一致するのは、すべての係数の比が等しい場合です。したがって、解を持たないためには、定数項の比が$x$と$y$の係数の比と異なれば良いです。

すなわち、

$\frac{4}{a} = \frac{2}{-3} \neq \frac{-3}{c}$

となる必要があります。$a = -6$を代入すると、

$\frac{4}{-6} = \frac{2}{-3} \neq \frac{-3}{c}$

$\frac{2}{-3} \neq \frac{-3}{c}$

$2c \neq 9$

$c \neq \frac{9}{2}$

したがって、連立方程式が解を持たないための必要十分条件は、$a = -6$かつ$c \neq \frac{9}{2}$となります。

次に、連立方程式がただ1組の解を持つ条件を考えます。これは、2つの直線が平行でない場合です。したがって、$x$と$y$の係数の比が異なる必要があります。

$\frac{4}{a} \neq \frac{2}{-3}$

$a \neq -6$

したがって、連立方程式がただ1組の解を持つための必要十分条件は、$a \neq -6$となります。

3. 最終的な答え

連立方程式が解を持たないための必要十分条件: $a = -6$かつ$c \neq \frac{9}{2}$

連立方程式がただ1組の解を持つための必要十分条件: $a \neq -6$