次の連立方程式を考える。 $ \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ y = mx + n \end{cases} $ この連立方程式がただ1組の解をもつための必要十分条件と、無数の解をもつための必要十分条件を求める。

1. 問題の内容

次の連立方程式を考える。

$\begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ y = mx + n \end{cases}$

この連立方程式がただ1組の解をもつための必要十分条件と、無数の解をもつための必要十分条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、2番目の式を1番目の式に代入して、$y$ を消去する。

$3x - 4(mx + n) = 1$

$3x - 4mx - 4n = 1$

$(3 - 4m)x = 1 + 4n$

連立方程式がただ1組の解を持つためには、$x$ についての一意の解が存在する必要がある。つまり、$3 - 4m \neq 0$ である必要がある。このとき、$x = \frac{1 + 4n}{3 - 4m}$ となり、この $x$ を $y = mx + n$ に代入することで、$y$ も一意に決定される。したがって、連立方程式はただ1組の解を持つ。

連立方程式が無数の解を持つためには、上記の方程式において $3 - 4m = 0$ かつ $1 + 4n = 0$ が成り立つ必要がある。このとき、方程式は $0 \cdot x = 0$ となり、$x$ は任意の値をとることができる。そして、$y = mx + n$ によって $y$ の値も決定される。

$3 - 4m = 0$ より $m = \frac{3}{4}$

$1 + 4n = 0$ より $n = -\frac{1}{4}$

したがって、連立方程式がただ1組の解を持つための必要十分条件は $m \neq \frac{3}{4}$ であり、無数の解を持つための必要十分条件は $m = \frac{3}{4}$ かつ $n = -\frac{1}{4}$ である。

3. 最終的な答え

ただ1組の解をもつための必要十分条件: $m \neq \frac{3}{4}$

無数の解をもつための必要十分条件: $m = \frac{3}{4}$ かつ $n = -\frac{1}{4}$