A君とB君の2人がじゃんけんを5回するとき、A君が3回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含む。

1. 問題の内容

A君とB君の2人がじゃんけんを5回するとき、A君が3回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含む。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率を考えます。

じゃんけんの手はグー、チョキ、パーの3種類あり、A君が勝つのは、A君がグーでB君がチョキ、A君がチョキでB君がパー、A君がパーでB君がグーの3パターンです。

したがって、A君が勝つ確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ です。

同様に、B君が勝つ確率も $\frac{1}{3}$ です。

引き分けになる確率は $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ です。

5回のじゃんけんでA君が3回勝つ確率を求めます。

まず、5回のうち3回A君が勝ち、残りの2回はA君が負けるか引き分けになる必要があります。

この確率は、二項分布を使って計算できます。

A君が3回勝ち、残りの2回でA君が負けるか引き分ける確率は、

$_{5}C_{3} \times (\frac{1}{3})^{3} \times (\frac{2}{3})^{2}$

で求められます。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

したがって、確率は

$10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$