A君とB君がじゃんけんを6回するとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けも1回として数える。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを6回するとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けも1回として数える。

2. 解き方の手順

まず、じゃんけん1回において、A君が勝つ確率、負ける確率、引き分ける確率を考えます。

A君が勝つ確率は $1/3$、負ける確率は $1/3$、引き分ける確率は $1/3$ です。

次に、6回のじゃんけんのうち、A君が4回勝つ場合の数を考えます。残りの2回は、A君が負けるか、引き分けるかです。

この問題は反復試行の確率の問題として解くことができます。

A君が4回勝つ確率は、二項分布を用いて計算できます。

6回のじゃんけんのうち、A君が勝つ回数を $k$、負ける回数を $l$、引き分ける回数を $m$ とすると、 $k+l+m = 6$ です。今回は $k = 4$ なので、$l+m = 2$ です。

$l$ と $m$ の組み合わせは $(l, m) = (0, 2), (1, 1), (2, 0)$ の3通りです。

それぞれの組み合わせについて、確率を計算します。

$(l, m) = (0, 2)$ のとき、確率は ${}_6C_4 \times (1/3)^4 \times (1/3)^0 \times (1/3)^2 = \frac{6!}{4!0!2!} \times (\frac{1}{3})^6 = 15 \times (\frac{1}{3})^6$

$(l, m) = (1, 1)$ のとき、確率は ${}_6C_4 \times {}_2C_1 \times (1/3)^4 \times (1/3)^1 \times (1/3)^1= \frac{6!}{4!1!1!} \times (\frac{1}{3})^6 = 30 \times (\frac{1}{3})^6$

$(l, m) = (2, 0)$ のとき、確率は ${}_6C_4 \times (1/3)^4 \times (1/3)^2 \times (1/3)^0= \frac{6!}{4!2!0!} \times (\frac{1}{3})^6 = 15 \times (\frac{1}{3})^6$

これらの確率を合計すると、

$15 \times (\frac{1}{3})^6 + 30 \times (\frac{1}{3})^6 + 15 \times (\frac{1}{3})^6 = 60 \times (\frac{1}{3})^6 = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$