5個の数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して4個の数字を並べ、4桁の整数を作る。ただし、千の位に0を使用することはできない。 (1) 全部で何個の整数ができるか。 (2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数は何個あるか。 (3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数は何個あるか。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して4個の数字を並べ、4桁の整数を作る。ただし、千の位に0を使用することはできない。

(1) 全部で何個の整数ができるか。

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数は何個あるか。

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の4つの数字(1,2,3,4)が入りうる。百、十、一の位には0, 1, 2, 3, 4の5つの数字がそれぞれ入りうる。

したがって、全部で $4 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$ 個の整数ができる。

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数の個数を求めるには、まず、1が全く含まれない整数の個数を求め、全体の個数から引く。

1が全く含まれない場合、千の位には0, 1を除いた3つの数字(2, 3, 4)が入りうる。百、十、一の位には0, 1を除いた4つの数字(0, 2, 3, 4)がそれぞれ入りうる。

したがって、1が全く含まれない整数の個数は $3 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$ 個である。

したがって、少なくとも1つの位に1が含まれる整数の個数は $500 - 192 = 308$ 個である。

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数の個数を求めるには、1も2も含まれない整数の個数を求め、全体の個数から引く。

1も2も含まれない場合、千の位には0, 1, 2を除いた2つの数字(3, 4)が入りうる。百、十、一の位には0, 1, 2を除いた3つの数字(0, 3, 4)がそれぞれ入りうる。

したがって、1も2も含まれない整数の個数は $2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$ 個である。

したがって、少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数の個数は $500 - 54 = 446$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 500個

(2) 308個

(3) 446個