$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、与えられた式を完成させる問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、与えられた式を完成させる問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ に対して、分母と分子に $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{5 - 3}$

$= \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2}$

$= \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$

$= \frac{2(4 + \sqrt{15})}{2}$

$= 4 + \sqrt{15}$

したがって、与えられた式を埋めると以下のようになります。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5-3}$

$= \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$

$= \frac{2(4+\sqrt{15})}{2}$

$= 4 + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{15}$