問題は、$ \frac{252}{n} $がある自然数の2乗となるような、最も小さい自然数$n$の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{252}{n}$がある自然数の2乗となるような、最も小さい自然数$n$の値を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、252を素因数分解します。

$252 = 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 63 = 2 \times 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$

したがって、$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

$\frac{252}{n} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{n}$ がある自然数の2乗になるためには、$n$で割った結果の素因数分解において、全ての素数の指数が偶数でなければなりません。

$2^2$と$3^2$の指数は既に偶数なので、$7$の指数を偶数にする必要があります。そのため、$n$は$7$の倍数である必要があります。

最も小さい自然数$n$を見つけるので、$n = 7$の場合を考えます。

$\frac{252}{7} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{7} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 = 6^2$

したがって、$n = 7$のとき、$\frac{252}{n}$は$6^2 = 36$となり、自然数の2乗となります。

3. 最終的な答え

$n = 7$