方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、 $(1+\omega^2)^3(2+\omega) + (1+\omega)^3(2+\omega^2)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、 $(1+\omega^2)^3(2+\omega) + (1+\omega)^3(2+\omega^2)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は $x^3=1$ の虚数解なので、$\omega^3 = 1$ を満たし、また $\omega \neq 1$ である。

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ なので、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解である。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

このことから、$1+\omega^2 = -\omega$ かつ $1+\omega = -\omega^2$ がわかる。

与えられた式に代入すると、

\begin{align*}

(1+\omega^2)^3(2+\omega) + (1+\omega)^3(2+\omega^2) &= (-\omega)^3(2+\omega) + (-\omega^2)^3(2+\omega^2) \\

&= -\omega^3(2+\omega) - \omega^6(2+\omega^2) \\

&= -1(2+\omega) - 1(2+\omega^2) \\

&= -2 - \omega - 2 - \omega^2 \\

&= -4 - (\omega + \omega^2)

\end{align*}

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega + \omega^2 = -1$ であるから、

$-4 - (\omega + \omega^2) = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$ となる。

3. 最終的な答え

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