$f(x) = kx$, $g(x) = x^2$ とする。 (i) 直線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の交点の座標を求める。 (ii) 直線と曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (iii) 点 $((i)で求めた交点のx座標, (i)で求めた交点のy座標)$ における曲線 $C$ の接線 $m$ の方程式を求め、y軸と $m$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S'$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = kx$, $g(x) = x^2$ とする。

(i) 直線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の交点の座標を求める。

(ii) 直線と曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(iii) 点 $((i)で求めた交点のx座標, (i)で求めた交点のy座標)$ における曲線 $C$ の接線 $m$ の方程式を求め、y軸と $m$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S'$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) 交点を求める。

$f(x) = g(x)$ より $kx = x^2$

$x^2 - kx = 0$

$x(x - k) = 0$

$x = 0, k$

よって交点の座標は $(0, 0)$ と $(k, k^2)$。したがって、アは $k$、イは $k^2$ である。

(ii) 面積 $S$ を求める。

$S = \int_0^k (kx - x^2) dx$

したがって、ウは $kx - x^2$ である。

$S = \int_0^k (kx - x^2) dx = [\frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^k = \frac{1}{2}k^3 - \frac{1}{3}k^3 = \frac{1}{6}k^3$

したがって、エは $\frac{1}{6}k^3$ である。

(iii) 点 $(k, k^2)$ における接線 $m$ を求める。

$g(x) = x^2$ より $g'(x) = 2x$

点 $(k, k^2)$ における接線の傾きは $g'(k) = 2k$

接線 $m$ の方程式は $y - k^2 = 2k(x - k)$

$y = 2kx - 2k^2 + k^2$

$y = 2kx - k^2$

したがって、オは $2kx - k^2$ である。

$y$軸と接線 $m$ と曲線 $C: y = x^2$で囲まれた図形の面積 $S'$ を求める。

接線 $y = 2kx - k^2$ と曲線 $y = x^2$ の交点の $x$ 座標は $x = k$。

接線 $y = 2kx - k^2$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $-k^2$。

$S' = \int_0^k (x^2 - (2kx - k^2)) dx$

$S' = \int_0^k (x^2 - 2kx + k^2) dx$

$S' = [\frac{1}{3}x^3 - kx^2 + k^2x]_0^k = \frac{1}{3}k^3 - k^3 + k^3 = \frac{1}{3}k^3$

したがって、カは $\frac{1}{3}k^3$ である。

3. 最終的な答え

ア：$k$

イ：$k^2$

ウ：$kx - x^2$

エ：$\frac{1}{6}k^3$

オ：$2kx - k^2$

カ：$\frac{1}{3}k^3$