$0 < a < 1$ を満たす実数 $a$ が与えられ、$f_1(x) = ax$, $g_1(x) = x^2 - x$, $g_2(x) = |x^2 - x|$ とおく。直線 $y = f_1(x)$ を $l_1$、曲線 $y = g_1(x)$, $y = g_2(x)$ をそれぞれ $C_1$, $C_2$ とする。$l_1$ と $C_2$ は3点で交わり、それらの交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とする。このとき、いくつかの空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

$0 < a < 1$ を満たす実数 $a$ が与えられ、$f_1(x) = ax$, $g_1(x) = x^2 - x$, $g_2(x) = |x^2 - x|$ とおく。直線 $y = f_1(x)$ を $l_1$、曲線 $y = g_1(x)$, $y = g_2(x)$ をそれぞれ $C_1$, $C_2$ とする。$l_1$ と $C_2$ は3点で交わり、それらの交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とする。このとき、いくつかの空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、$g_2(x) = |x^2 - x|$ であるから、

$x^2 - x \geq 0$ のとき、$g_2(x) = x^2 - x$

$x^2 - x < 0$ のとき、$g_2(x) = -(x^2 - x) = -x^2 + x$

$l_1: y = ax$ と $C_2: y = |x^2 - x|$ の交点を求める。

$x^2 - x \geq 0$ のとき、$ax = x^2 - x \implies x^2 - (a+1)x = 0 \implies x(x - (a+1)) = 0$

よって、$x = 0, a+1$

$x^2 - x < 0$ のとき、$ax = -x^2 + x \implies x^2 + (a-1)x = 0 \implies x(x + (a-1)) = 0$

よって、$x = 0, 1-a$

$x^2 - x \geq 0$ は $x \leq 0$ または $x \geq 1$

$x^2 - x < 0$ は $0 < x < 1$

$\alpha < \beta < \gamma$ であるから、$\alpha = a-1$, $\beta = 0$, $\gamma = a+1$

キ $= a-1$

$U_1 = \int_{a-1}^0 (ax - (-x^2 + x)) dx = \int_{a-1}^0 (x^2 + (a-1)x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{a-1}{2}x^2]_{a-1}^0 = -(\frac{1}{3}(a-1)^3 + \frac{a-1}{2}(a-1)^2) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})(a-1)^3 = -\frac{5}{6}(a-1)^3$

ク $= -\frac{5}{6}(a-1)^3$

$W = \int_0^1 |x^2 - x| dx = \int_0^1 (-x^2 + x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

ケ $= \frac{1}{6}$

$V = \int_{a-1}^0 |ax| dx = \int_{a-1}^0 -ax dx = [-\frac{a}{2}x^2]_{a-1}^0 = 0 - (-\frac{a}{2}(a-1)^2) = \frac{a}{2}(a-1)^2$

$U_2 = \int_0^{a+1} (ax - (x^2 - x)) dx = \int_0^{a+1} ((a+1)x - x^2) dx = [\frac{a+1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^{a+1} = \frac{a+1}{2}(a+1)^2 - \frac{1}{3}(a+1)^3 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(a+1)^3 = \frac{1}{6}(a+1)^3$

$X = U_2 + V + W = \frac{1}{6}(a+1)^3 + \frac{a}{2}(a-1)^2 + \frac{1}{6}$

$U_1 + V = W$ より、

$V = W - U_1 = \frac{1}{6} - (-\frac{5}{6}(a-1)^3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6}(a-1)^3 = \frac{a}{2}(a-1)^2$

$\frac{1}{3} + \frac{5}{3}(a-1) = a(a-1) \implies 1 + 5(a-1) = 3a(a-1)$

$U_2 - U_1 = シ(W+X)$

$U_2 - U_1 = \frac{1}{6}(a+1)^3 - (-\frac{5}{6}(a-1)^3) = \frac{1}{6}((a+1)^3 + 5(a-1)^3) = \frac{1}{6}(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 5(a^3 - 3a^2 + 3a - 1)) = \frac{1}{6}(6a^3 - 12a^2 + 18a - 4) = a^3 - 2a^2 + 3a - \frac{2}{3}$

$U_1 + U_2 = ス(a^3 + ソa^2 + タa + チ)$

サ $= \frac{1}{6}(a+1)^3$

3. 最終的な答え

キ $= a-1$

ク $= -\frac{5}{6}(a-1)^3$

ケ $= \frac{1}{6}$

サ $= \frac{1}{6}(a+1)^3$