$0 < a < 1$を満たす実数$a$に対し、$f_1(x) = ax$, $g_1(x) = x^2 - x$, $g_2(x) = |x^2 - x|$とおく。 直線$y = f_1(x)$を$l_1$、曲線$y = g_1(x)$, $y = g_2(x)$をそれぞれ$C_1$, $C_2$とする。 $l_1$と$C_2$は3点で交わり、その交点の$x$座標を$\alpha, \beta, \gamma$ $(\alpha < \beta < \gamma)$とする。 $\alpha \leq x \leq \beta$の範囲で、$l_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$U_1$、$\beta \leq x \leq \gamma$の範囲で、$l_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$U_2$とする。 さらに、$l_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$V$、$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$W$とし、$U_2 + V + W$を$X$とおく。 このとき、$U_1$, $W$, $X$を求め、 $U_1 + V = W$が成り立つことから、$U_2 - U_1$を求め、 $U_1 + U_2$を求め、$U_1 + U_2$が最小となるときの$a$を求める。

1. 問題の内容

$0 < a < 1$を満たす実数$a$に対し、$f_1(x) = ax$, $g_1(x) = x^2 - x$, $g_2(x) = |x^2 - x|$とおく。

直線$y = f_1(x)$を$l_1$、曲線$y = g_1(x)$, $y = g_2(x)$をそれぞれ$C_1$, $C_2$とする。

$l_1$と$C_2$は3点で交わり、その交点の$x$座標を$\alpha, \beta, \gamma$ $(\alpha < \beta < \gamma)$とする。

$\alpha \leq x \leq \beta$の範囲で、$l_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$U_1$、$\beta \leq x \leq \gamma$の範囲で、$l_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$U_2$とする。

さらに、$l_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$V$、$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$W$とし、$U_2 + V + W$を$X$とおく。

このとき、$U_1$, $W$, $X$を求め、

$U_1 + V = W$が成り立つことから、$U_2 - U_1$を求め、

$U_1 + U_2$を求め、$U_1 + U_2$が最小となるときの$a$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_2$の方程式について、$g_2(x) = |x^2 - x|$であるから、$0 \leq x \leq 1$のとき、$g_2(x) = x - x^2$、$x < 0$または$x > 1$のとき、$g_2(x) = x^2 - x$である。

$l_1$と$C_2$の交点を考える。

$ax = |x^2 - x|$より、$ax = x - x^2$ $(0 \leq x \leq 1)$または$ax = x^2 - x$ $(x < 0$または$x > 1)$となる。

$ax = x - x^2$より、$x(a - 1 + x) = 0$。よって、$x = 0, 1 - a$。$0 < a < 1$より、$0 < 1 - a < 1$。

$ax = x^2 - x$より、$x(x - 1 - a) = 0$。よって、$x = 0, 1 + a$。$1 < 1 + a < 2$。

したがって、$\alpha = 0, \beta = 1 - a, \gamma = 1 + a$である。

ゆえに、$a = \beta - 1$。

$U_1 = \int_0^{1 - a} (ax - (x - x^2))dx = \int_0^{1 - a} (ax - x + x^2)dx = [\frac{ax^2}{2} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}]_0^{1 - a} = \frac{a(1 - a)^2}{2} - \frac{(1 - a)^2}{2} + \frac{(1 - a)^3}{3} = \frac{(1 - a)^2}{2}(a - 1) + \frac{(1 - a)^3}{3} = -\frac{(1 - a)^3}{2} + \frac{(1 - a)^3}{3} = -\frac{(1 - a)^3}{6} = \frac{(a - 1)^3}{6}$。

$W = \int_0^1 (x - x^2)dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。

$U_2 + V + W = X$。

$U_1 + V = W$より、$V = W - U_1 = \frac{1}{6} - \frac{(a - 1)^3}{6}$。

$U_2 = \int_{1 - a}^{1 + a} (ax - (x^2 - x))dx = \int_{1 - a}^{1 + a} ((a + 1)x - x^2)dx = [\frac{(a + 1)x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1 - a}^{1 + a} = \frac{(a + 1)}{2}((1 + a)^2 - (1 - a)^2) - \frac{1}{3}((1 + a)^3 - (1 - a)^3) = \frac{(a + 1)}{2}(4a) - \frac{1}{3}(2(3a + a^3)) = 2a(a + 1) - 2a - \frac{2a^3}{3} = 2a^2 - \frac{2a^3}{3} = \frac{6a^2 - 2a^3}{3} = \frac{2}{3}a^2(3 - a)$。

$X = U_2 + V + W = \frac{2}{3}a^2(3 - a) + \frac{1}{6} - \frac{(a - 1)^3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}a^2(3 - a) + \frac{1}{3} - \frac{a^3 - 3a^2 + 3a - 1}{6} = 2a^2 - \frac{2}{3}a^3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{6} = \frac{5}{2}a^2 - \frac{5}{6}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}$。

$U_1 + V = W$より、$U_2 - U_1 = X - 2U_1 = U_2 + V + W - 2U_1 = U_2 + V + W - 2W + 2V = U_2 - W + 2V = X - 2W = X - \frac{1}{3}$。

$U_2 - U_1 = X - 2U_1 = X - 2(\frac{(a - 1)^3}{6}) = X - \frac{(a - 1)^3}{3}$。

$U_2 - U_1 = X - \frac{1}{3}$

$\implies U_2 = U_1 + X - \frac{1}{3}$。

$\therefore U_2 - U_1 = \frac{2a^2}{3}(3 - a) - \frac{(a-1)^3}{6}$

$U_2 - U_1 = \frac{2a^2(3-a)}{3}-\frac{1}{3}=\frac{-1}{3}((a-1)^3)-\frac{1}{3}$。

U2-U1 = - (1/3)W+X

$U_1 + U_2 = \frac{(a - 1)^3}{6} + \frac{2}{3}a^2(3 - a) = \frac{a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + 4a^2(3 - a)}{6} = \frac{a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + 12a^2 - 4a^3}{6} = \frac{-3a^3 + 9a^2 + 3a - 1}{6} = \frac{1}{6}(-3a^3 + 9a^2 + 3a - 1)$。

$U_1 + U_2 = \frac{1}{6}(-3a^3 + 9a^2 + 3a - 1)$。

$f'(a) = -9a^2 + 18a + 3 = 0$。

$3a^2 - 6a - 1 = 0$。

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

$0 < a < 1$より、$a = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{3}$。

3. 最終的な答え

キ：1 - a

ク：$\frac{1}{6}(a-1)^3$ (0)

ケ：1

コ：6

サ：$-\frac{1}{4}(a+1)^3$ (7)

シ：2

ス：6

セ：0

ソ：9

タ：-3

チ：-1

ツ：3

テ：2

ト：3