次の関数を微分する問題です。 (1) $e^{3x+4}$ (2) $e^{x^2}$ (3) $xe^x$ (4) $\log(x^2+1)$ (5) $x\log x$ (6) $\log(x + \sqrt{x^2+A})$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $e^{3x+4}$

(2) $e^{x^2}$

(3) $xe^x$

(4) $\log(x^2+1)$

(5) $x\log x$

(6) $\log(x + \sqrt{x^2+A})$

2. 解き方の手順

(1) $e^{3x+4}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x+4$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3$ であり、$e^u$ の微分は $e^u$ です。したがって、

$\frac{d}{dx} e^{3x+4} = \frac{d}{du} e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^{3x+4} \cdot 3 = 3e^{3x+4}$

(2) $e^{x^2}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x^2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ であり、$e^u$ の微分は $e^u$ です。したがって、

$\frac{d}{dx} e^{x^2} = \frac{d}{du} e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $xe^x$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$\frac{d}{dx} (xe^x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^x + x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(4) $\log(x^2+1)$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x^2+1$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ であり、$\log(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ です。したがって、

$\frac{d}{dx} \log(x^2+1) = \frac{d}{du} \log(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

(5) $x\log x$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$\frac{d}{dx} (x\log x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(6) $\log(x + \sqrt{x^2+A})$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x + \sqrt{x^2+A}$ とすると、$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+A}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+A}} = \frac{\sqrt{x^2+A} + x}{\sqrt{x^2+A}}$ であり、$\log(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ です。したがって、

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2+A}) = \frac{d}{du} \log(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+A}}{\sqrt{x^2+A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+A}}$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x+4}$

(2) $2xe^{x^2}$

(3) $(x+1)e^x$

(4) $\frac{2x}{x^2+1}$

(5) $\log x + 1$

(6) $\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}$