以下の3つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{x}{\log x} \quad (x > 0)$ (2) $y = \frac{e^x}{x} \quad (x \neq 0)$ (3) $y = x^x \quad (x \geq 0, 0^0 = 1)$

1. 問題の内容

以下の3つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{x}{\log x} \quad (x > 0)$

(2) $y = \frac{e^x}{x} \quad (x \neq 0)$

(3) $y = x^x \quad (x \geq 0, 0^0 = 1)$

2. 解き方の手順

各関数のグラフを描くために、以下の手順で解析します。

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ (x > 0)

- 定義域：$x > 0$ かつ $\log x \neq 0$ より $x > 0$ かつ $x \neq 1$

- 極値：微分して増減を調べます。

$y' = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

$y' = 0$ となるのは $\log x = 1$ つまり $x = e$ のとき。

$x=e$ の前後で $y'$ の符号が変わるので極値を持ち、$x = e$ のとき極小値 $y = e$ をとる。

- 漸近線：$x \to 1^+$ のとき $y \to +\infty$, $x \to 1^-$ のとき $y \to -\infty$ なので、$x = 1$ は垂直漸近線。

$x \to 0^+$ のとき $\log x \to -\infty$ なので、 $y \to 0$ となるか確かめる。

$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$。

- グラフの概形：$x=1$を漸近線として、$x=e$で極小値$e$を持つ。

(2) $y = \frac{e^x}{x}$ (x ≠ 0)

- 定義域：$x \neq 0$

- 極値：微分して増減を調べます。

$y' = \frac{e^x x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

$x=1$ の前後で $y'$ の符号が変わるので極値を持ち、$x = 1$ のとき極小値 $y = e$ をとる。

- 漸近線：$x \to 0^+$ のとき $y \to +\infty$, $x \to 0^-$ のとき $y \to -\infty$ なので、$x = 0$ は垂直漸近線。

$x \to -\infty$ のとき $y \to 0$ なので、$x$軸は漸近線。

$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$。

- グラフの概形：$x=0$を漸近線として、$x=1$で極小値$e$を持つ。

(3) $y = x^x$ (x ≥ 0, 0^0 = 1)

- 定義域：$x \geq 0$

- $y = x^x = e^{x \log x}$

- 極値：微分して増減を調べます。

$y' = e^{x \log x} (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

$y' = 0$ となるのは $\log x = -1$ つまり $x = e^{-1} = 1/e$ のとき。

$x=1/e$ の前後で $y'$ の符号が変わるので極値を持ち、$x = 1/e$ のとき極小値 $y = (1/e)^{1/e} = e^{-1/e}$ をとる。

- 端点：$x = 0$ のとき $y = 1$ (問題文より定義)

- グラフの概形：$x=0$ で $y=1$、 $x=1/e$ で極小値 $e^{-1/e}$ を持ち、$x$ が大きくなるにつれて $y$ も大きくなる。

3. 最終的な答え

それぞれの関数のグラフの概形は以下のようになります。厳密なグラフを描くには、さらに詳細な解析が必要です。

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ : $x=1$ を漸近線とし、$x=e$ で極小値 $e$ を持つ。

(2) $y = \frac{e^x}{x}$ : $x=0$ を漸近線とし、$x=1$ で極小値 $e$ を持ち、$x \to -\infty$で $y \to 0$。

(3) $y = x^x$ : $x=0$ で $y=1$、$x=1/e$ で極小値 $e^{-1/e}$ を持ち、$x$ が大きくなるにつれて $y$ も大きくなる。