定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^{2x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^{2x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)^2$を展開します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) e^{2x} dx$

部分積分を適用するために、まず関数を書き換えます。

$\int_{1}^{2} x^2 e^{2x} dx - 2\int_{1}^{2} x e^{2x} dx + \int_{1}^{2} e^{2x} dx$

それぞれの積分を計算します。

$I_1 = \int_{1}^{2} x^2 e^{2x} dx$

$u = x^2$, $dv = e^{2x} dx$

$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I_1 = \frac{1}{2}x^2e^{2x} \Big|_1^2 - \int_{1}^{2} xe^{2x} dx = \frac{1}{2}(4e^4 - e^2) - \int_{1}^{2} xe^{2x} dx$

$I_2 = \int_{1}^{2} x e^{2x} dx$

$u = x$, $dv = e^{2x} dx$

$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I_2 = \frac{1}{2}xe^{2x} \Big|_1^2 - \int_{1}^{2} \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}(2e^4 - e^2) - \frac{1}{4}e^{2x}\Big|_1^2 = e^4 - \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}(e^4 - e^2) = \frac{3}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^2$

$I_3 = \int_{1}^{2} e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} \Big|_1^2 = \frac{1}{2}(e^4 - e^2)$

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$I = I_1 - 2I_2 + I_3 = (\frac{1}{2}(4e^4 - e^2) - (\frac{3}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^2)) - 2(\frac{3}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^2) + \frac{1}{2}(e^4 - e^2)$

$I = 2e^4 - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{4}e^4 + \frac{1}{4}e^2 - \frac{3}{2}e^4 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 = (2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2})e^4 + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2})e^2 = (\frac{8 - 3 - 6 + 2}{4})e^4 + (\frac{-2+1+2-2}{4})e^2 = \frac{1}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^2 = \frac{1}{4}(e^4 - e^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}(e^4 - e^2)$