(1) $n=1, 2, 3, ...$ のとき、不等式 $\frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{n}$ が成り立つことを示す。 (2) $n=2, 3, 4, ...$ のとき、不等式 $\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} < 1 + \log n$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $n=1, 2, 3, ...$ のとき、不等式 $\frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{n}$ が成り立つことを示す。

(2) $n=2, 3, 4, ...$ のとき、不等式 $\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} < 1 + \log n$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ は $x > 0$ で単調減少である。

$n \le x \le n+1$ に対して、$\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{n}$ が成り立つ。

したがって、$n$ から $n+1$ まで積分すると、

$\int_n^{n+1} \frac{1}{n+1} dx \le \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx \le \int_n^{n+1} \frac{1}{n} dx$ となる。

$\int_n^{n+1} \frac{1}{n+1} dx = \frac{1}{n+1} \int_n^{n+1} dx = \frac{1}{n+1} (n+1 - n) = \frac{1}{n+1}$

$\int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\log x]_n^{n+1} = \log(n+1) - \log(n)$

$\int_n^{n+1} \frac{1}{n} dx = \frac{1}{n} \int_n^{n+1} dx = \frac{1}{n} (n+1 - n) = \frac{1}{n}$

よって、$\frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{n}$ が示された。

(2)

(1) の結果 $\frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{n}$ を利用する。

$n=1$ から $n$ まで足し合わせる。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} < \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n+1}$

$\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx = \int_1^2 \frac{1}{x} dx + \int_2^3 \frac{1}{x} dx + ... + \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx = \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\log x]_1^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$

したがって、$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n+1} < \log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n+1} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}) - 1 + \frac{1}{n+1}$

$\log(n+1) < 1 + \log n$ を示すために、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1 + \log n$ を示す。

$\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$ を変形すると、

$\log(n+1) < 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$.

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < 1 + \int_1^n \frac{1}{x} dx = 1 + [\log x]_1^n = 1 + \log n - \log 1 = 1 + \log n$.

よって、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} < 1 + \log n$ は成り立たない。(間違いです)

$n \geq 2$に対して $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx$

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx = \log n$.

$n \geq 2$に対し $\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{n}$

(2) $\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} < 1 + \log n$