二次関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 3$ の頂点の座標を求め、その頂点を通る直線の式を求める。ただし、$0 \leqq x \leqq 3$ である。問題文は「頂点を通る直線の式を求めなさい」となっているが、頂点は１つしかないので、頂点を通る直線は無数に存在する。この問題ではおそらく、頂点そのものを答えることが意図されていると思われる。もし問題が間違っていて、別の条件が与えられていれば、それに応じて解き方を変える必要がある。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 3$ の頂点の座標を求め、その頂点を通る直線の式を求める。ただし、$0 \leqq x \leqq 3$ である。問題文は「頂点を通る直線の式を求めなさい」となっているが、頂点は１つしかないので、頂点を通る直線は無数に存在する。この問題ではおそらく、頂点そのものを答えることが意図されていると思われる。もし問題が間違っていて、別の条件が与えられていれば、それに応じて解き方を変える必要がある。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成して頂点の座標を求める。

$f(x) = -2x^2 + 4x + 3$

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 3$

$f(x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$f(x) = -2((x-1)^2 - 1) + 3$

$f(x) = -2(x-1)^2 + 2 + 3$

$f(x) = -2(x-1)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は $(1, 5)$である。問題の意図が頂点を答えることだと仮定すると、これが求める答えになる。頂点を通る直線を求めるのであれば、傾きを $m$ とおいて、$y - 5 = m(x - 1)$、つまり、$y = mx - m + 5$ となる。

3. 最終的な答え

頂点の座標: $(1, 5)$

頂点を通る直線の式（もし問題が意図している場合）: $y = mx - m + 5$ (mは任意の実数)