$a$ を定数とするとき、関数 $y = x^2 - 2ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、関数 $y = x^2 - 2ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める

まず、$y = x^2 - 2ax$ を平方完成すると、

$$$$

y = (x - a)^2 - a^2

$$$$

これは下に凸な放物線で、軸は $x = a$ である。

定義域 $0 \le x \le 2$ と軸 $x = a$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$y$ は単調減少であるため、$x = 0$ で最大値をとり、$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y(2) = 2^2 - 2a(2) = 4 - 4a$ である。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき：

頂点 $x = a$ が定義域に含まれる。

最小値は $y(a) = -a^2$ である。

(iii) $a > 2$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$y$ は単調増加であるため、$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y(0) = 0^2 - 2a(0) = 0$ である。

(2) 最大値を求める

(i) $a \le 1$ のとき

$x=2$のとき最大値を取り、最大値は$y(2)=4-4a$である。

(ii) $a > 1$ のとき

$x=0$のとき最大値を取り、最大値は$y(0)=0$である。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、最小値は $4 - 4a$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-a^2$

$a > 2$ のとき、最小値は $0$

(2) 最大値

$a \le 1$ のとき、最大値は $4 - 4a$

$a > 1$ のとき、最大値は $0$