複素数の割り算 $\frac{2i}{1+i}$ を計算し、簡約化せよ。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{2i}{1+i}$ を計算し、簡約化せよ。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の複素共役を分子と分母の両方に掛けます。

分母 $1+i$ の複素共役は $1-i$ です。

まず、分子と分母に $1-i$ をかけます。

$\frac{2i}{1+i} = \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

次に、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子:

$2i(1-i) = 2i - 2i^2 = 2i - 2(-1) = 2i + 2 = 2 + 2i$

分母:

$(1+i)(1-i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、

$\frac{2i}{1+i} = \frac{2+2i}{2}$

最後に、分子の各項を分母で割ります。

$\frac{2+2i}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2i}{2} = 1 + i$

3. 最終的な答え

$1+i$