複素数の計算問題です。 $ \frac{2i}{\frac{1+2i}{1-2i}} $ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

$\frac{2i}{\frac{1+2i}{1-2i}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母の複素数の割り算を計算します。

$\frac{1+2i}{1-2i}$ の分母と分子に $1+2i$ をかけます。

\begin{align*}

\frac{1+2i}{1-2i} &= \frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} \\

&= \frac{1+4i+4i^2}{1-4i^2} \\

&= \frac{1+4i-4}{1+4} \\

&= \frac{-3+4i}{5}

\end{align*}

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2i}{\frac{-3+4i}{5}}$

これは、次のようになります。

\begin{align*}

\frac{2i}{\frac{-3+4i}{5}} &= 2i \cdot \frac{5}{-3+4i} \\

&= \frac{10i}{-3+4i}

\end{align*}

次に、$\frac{10i}{-3+4i}$ を計算します。分母と分子に $-3-4i$ をかけます。

\begin{align*}

\frac{10i}{-3+4i} &= \frac{10i(-3-4i)}{(-3+4i)(-3-4i)} \\

&= \frac{-30i-40i^2}{9-16i^2} \\

&= \frac{-30i+40}{9+16} \\

&= \frac{40-30i}{25} \\

&= \frac{5(8-6i)}{25} \\

&= \frac{8-6i}{5} \\

&= \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5} - \frac{6}{5}i$