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複素数の割り算 $(1+2i)/(1-2i)$ を計算して、結果を $a+bi$ の形で表してください。

代数学複素数複素数の演算割り算
2025/6/21

1. 問題の内容

複素数の割り算 (1+2i)/(1−2i)(1+2i)/(1-2i) を計算して、結果を a+bia+bi の形で表してください。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の共役複素数を分母と分子の両方にかけることで、分母を実数にします。
分母 1−2i1-2i の共役複素数は 1+2i1+2i です。
まず、分子と分母に 1+2i1+2i をかけます。
1+2i1−2i=(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)\frac{1+2i}{1-2i} = \frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}
分子を展開します。
(1+2i)(1+2i)=1+2i+2i+(2i)2=1+4i+4i2=1+4i−4=−3+4i(1+2i)(1+2i) = 1 + 2i + 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i
分母を展開します。
(1−2i)(1+2i)=1+2i−2i−(2i)2=1−4i2=1+4=5(1-2i)(1+2i) = 1 + 2i - 2i - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5
よって、
(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−3+4i5=−35+45i\frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{-3+4i}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i

3. 最終的な答え

−35+45i-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i

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