画像にある二つの問題を解きます。一つ目の問題は $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ であり、二つ目の問題は $\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$ です。

1. 問題の内容

画像にある二つの問題を解きます。一つ目の問題は $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ であり、二つ目の問題は $\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$ です。

2. 解き方の手順

(9) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ について：

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

次に、それぞれの和の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) - 2] = \frac{n(n+1)(n^2 + n - 2)}{4} = \frac{n(n+1)(n+2)(n-1)}{4}$

$= \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

(8) $\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$ について：

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

次に、それぞれの和の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1) + 1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n - 1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = (2^n - 2) - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

(9) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

(8) $\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = 2^n - 2 - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$