与えられた二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。 (1) $y = x^2 + 1$ ($-1 \le x \le 3$) (2) $y = -x^2 + 4x - 2$ ($0 \le x \le 4$) (3) $y = 2x^2 + 4x - 1$ ($0 \le x \le 1$) (4) $y = -3x^2 + 6x - 5$ ($-1 \le x \le 2$) (5) $y = x^2 - 3x + 1$ ($1 < x \le 3$) (6) $y = -2x^2 + 9x$ ($0 < x < 3$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。

(1) $y = x^2 + 1$ ($-1 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 2$ ($0 \le x \le 4$)

(3) $y = 2x^2 + 4x - 1$ ($0 \le x \le 1$)

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5$ ($-1 \le x \le 2$)

(5) $y = x^2 - 3x + 1$ ($1 < x \le 3$)

(6) $y = -2x^2 + 9x$ ($0 < x < 3$)

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

指定された範囲と頂点の位置関係を考慮し、範囲の端点と頂点における関数の値を計算します。

これらの値の中で、最大のものと最小のものが、それぞれ最大値、最小値となります。

ただし、範囲に端点が含まれない場合は、その端点での値は最大値または最小値にはなりません。

(1) $y = x^2 + 1$

平方完成済。頂点は $(0, 1)$。

$x = -1$のとき、$y = (-1)^2 + 1 = 2$

$x = 3$のとき、$y = (3)^2 + 1 = 10$

$x = 0$のとき、$y = 1$

最小値: $1$ ($x=0$)、最大値: $10$ ($x=3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 2$

$y = -(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2 = -(x - 2)^2 + 4 - 2 = -(x - 2)^2 + 2$

頂点は $(2, 2)$。

$x = 0$のとき、$y = -2$

$x = 4$のとき、$y = -2$

$x = 2$のとき、$y = 2$

最小値: $-2$ ($x=0, 4$)、最大値: $2$ ($x=2$)

(3) $y = 2x^2 + 4x - 1$

$y = 2(x^2 + 2x) - 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 1 = 2(x + 1)^2 - 2 - 1 = 2(x + 1)^2 - 3$

頂点は $(-1, -3)$。範囲外。

$x = 0$のとき、$y = -1$

$x = 1$のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) - 1 = 2 + 4 - 1 = 5$

最小値: $-1$ ($x=0$)、最大値: $5$ ($x=1$)

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5$

$y = -3(x^2 - 2x) - 5 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5 = -3(x - 1)^2 + 3 - 5 = -3(x - 1)^2 - 2$

頂点は $(1, -2)$。

$x = -1$のとき、$y = -3(-1)^2 + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14$

$x = 2$のとき、$y = -3(2)^2 + 6(2) - 5 = -12 + 12 - 5 = -5$

$x = 1$のとき、$y = -2$

最小値: $-14$ ($x=-1$)、最大値: $-2$ ($x=1$)

(5) $y = x^2 - 3x + 1$

$y = x^2 - 3x + (9/4) - (9/4) + 1 = (x - 3/2)^2 - (9/4) + (4/4) = (x - 3/2)^2 - (5/4)$

頂点は $(3/2, -5/4)$。

$x = 1$のとき、$y = 1 - 3 + 1 = -1$。ただし$x=1$は範囲に含まれないため、最小値ではない。

$x = 3$のとき、$y = 9 - 9 + 1 = 1$

$x = 3/2$のとき、$y = -5/4 = -1.25$。ただし$x=1.5$は範囲に含まれないため、最小値ではない。

$x$が1に近づくにつれて$y$は-1に近づくが、-1にはならない。最小値は存在しない。

最大値: $1$ ($x=3$)

(6) $y = -2x^2 + 9x$

$y = -2(x^2 - (9/2)x) = -2(x^2 - (9/2)x + (81/16) - (81/16)) = -2(x - (9/4))^2 + (81/8)$

頂点は $(9/4, 81/8)$。

$x = 0$のとき、$y = 0$。ただし$x=0$は範囲に含まれない。

$x = 3$のとき、$y = -2(9) + 9(3) = -18 + 27 = 9$。ただし$x=3$は範囲に含まれない。

$x = 9/4$のとき、$y = 81/8 = 10.125$

$x$が0に近づくにつれて$y$は0に近づくが、0にはならない。最小値は存在しない。

$x$が3に近づくにつれて$y$は9に近づくが、9にはならない。最大値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $1$ ($x=0$)、最大値: $10$ ($x=3$)

(2) 最小値: $-2$ ($x=0, 4$)、最大値: $2$ ($x=2$)

(3) 最小値: $-1$ ($x=0$)、最大値: $5$ ($x=1$)

(4) 最小値: $-14$ ($x=-1$)、最大値: $-2$ ($x=1$)

(5) 最小値: なし、最大値: $1$ ($x=3$)

(6) 最小値: なし、最大値: なし