$a$を定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$を $a$ の値で場合分けして求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$を $a$ の値で場合分けして求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 - 3$

これは軸が $x = a$ の下に凸の放物線です。定義域が $0 \le x \le 2$ なので、軸の位置によって最小値が変わります。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は減少するので、$x = 2$ で最小値をとります。

$m(a) = f(2) = 2^2 - 2a(2) + a^2 - 3 = 4 - 4a + a^2 - 3 = a^2 - 4a + 1$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸が区間内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = (a - a)^2 - 3 = -3$

(iii) $2 < a$ のとき

区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 0^2 - 2a(0) + a^2 - 3 = a^2 - 3$

3. 最終的な答え

$m(a) =

\begin{cases}

a^2 - 4a + 1 & (a < 0) \\

-3 & (0 \le a \le 2) \\

a^2 - 3 & (2 < a)

\end{cases}$